home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter3.3p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  6.3 KB  |  292 lines
  1. à 3.3     Complex Conjugate Roots ç ê Characteristic Equation
  2.  
  3. äèèFïd ê general solution ç ê homogeneious, 
  4. èèèèèèèèdifferential equation.
  5.  
  6. â    è The differential equation
  7.         y»» + 9y = 0
  8.     è has ê general solution
  9.         C¬cos[3x] + C½sï[3x]
  10.  
  11. éS    The lïear, second order, constant coefficient, homogenous
  12.     differential equation
  13.  
  14.         ay»» + by» + cy = 0
  15.  
  16.     has solutions ç ê formèe¡╣èwhere m is a solution ç ê 
  17.     CHARACTERISTIC EQUATION
  18.  
  19.         amì + bm + c = 0
  20.  
  21.     If ê DISCRIMINANT bì - 4ac is negative, ê roots ç this 
  22.     equation are a pair ç COMPLEX CONJUGATES
  23.  
  24.         m = l ± giè where l å g are real constants
  25.  
  26.     This makes ê GENERAL SOLUTION have ê form
  27.  
  28.         y = C¬eÑ╚ó╩ûª╣ + C½eÑ╚ú╩ûª╣
  29.  
  30.     These solutions, unfortunately, are not ï ê form ç 
  31.     elementary functions from calculus.èHowever, êy can be 
  32.     converted ë familiar functions by usïg EULER'S FORMUALA
  33.     ï two ç its forms
  34.  
  35.         eû╣è= cos[x] + i sï[x]
  36.  
  37.         eúû╣ = cos[x] - i sï[x]
  38.  
  39.     Substitutïg êse formulas ïë ê general solution, re-
  40.     arrangïg å renamïg ê arbitrary constants produces ê
  41.     general solution
  42.  
  43.         y = C¬ e╚╣ cos[gx]è+èC½ e╚╣ sï[gx]
  44.  
  45.  1    y»»è+è4yè=è0
  46.  
  47.  
  48.     A)èC¬eúì╣ + C½eì╣     èèèèB)èC¬eì╣cos[2x] + C½eì╣sï[2x]
  49.  
  50.     C)èC¬eì╣cos[x] + C½eì╣sï[x]    D)èC¬cos[2x] + C½sï[2x]
  51.  
  52. ü    Forè
  53.         y»» + 4y = 0,
  54.     ê characteristic equation is
  55.          mì + 4 = 0
  56.     This does NOT facër with real coefficients, 
  57.     so rearrange
  58.         mì = -4
  59.     Takïg ê square root ç both sides yields
  60.         m = ± 2i
  61.     The general solution is
  62.         C¬cos[2x] + C½sï[2x]
  63.  
  64. Ç    D
  65.  
  66.  2    y»» - 2y» + 2y = 0
  67.  
  68.  
  69.     A)èC¬eú╣cos[x] + C½eú╣sï[x]    B)èC¬eú╣cos[2x] + C½eú╣sï[2x]
  70.  
  71.     C)èC¬e╣cos[x] + C½e╣sï[x]    D)èC¬e╣cos[2x] - C½e╣sï[2x]    
  72.  
  73. ü    Forè
  74.         y»» - 2y» + 2y = 0,
  75.     ê characteristic equation is
  76.          mì - 2m + 2 = 0
  77.     This does NOT facër with real coefficients so ê quadratic
  78.     formula must be used
  79.         èè 2 ± √[(-2)² - 4(1)(2)]
  80.         m = ────────────────────────
  81.             èèè2(1)
  82.  
  83.         è= [ 2 ± √(-4) ] / 2
  84.  
  85.         è= [ 2 ± 2i ] / 2
  86.  
  87.         è=è1 ± i
  88.  
  89.     The general solution is
  90.         C¬e╣cos[x] + C½e╣sï[x]
  91.  
  92. Ç    C
  93.  
  94.  3    9y»»è+èyè=è0
  95.  
  96.  
  97.     A)èC¬eú╣»Ä + C½e╣»Ä     èèèèB)èC¬eÄ╣ + C½eúÄ╣
  98.  
  99.     C)èC¬cos[x/3] + C½sï[x/3]    D)èC¬cos[3x] + C½sï[3x]
  100.  
  101. ü    Forè
  102.         9y»» + y = 0,
  103.     ê characteristic equation is
  104.          9mì + 1 = 0
  105.     This does NOT facër with real coefficients, 
  106.     so rearrange
  107.         9mì = -1
  108.          mì = -1/9
  109.     Takïg ê square root ç both sides yields
  110.         m = ± i/3
  111.     The general solution is
  112.         C¬cos[x/3] + C½sï[x/3]
  113.  
  114. Ç     C
  115.  
  116.  4    y»» + 6y» + 13è=è0
  117.  
  118.     A)è    C¬eúì╣cos[3x] + C½eúì╣sï[3x]    
  119.     B)è    C¬eúÄ╣cos[2x] + C½eúÄ╣sï[2x]
  120.     C)è    C¬eì╣cos[3x] + C½eì╣sï[3x]    
  121.     D)è    C¬eÄ╣cos[2x] + C½eÄ╣sï[2x]    
  122.  
  123. ü    Forè
  124.         y»» + 6y» + 13y = 0,
  125.     ê characteristic equation is
  126.          mì + 6m + 13 = 0
  127.     This does NOT facër with real coefficients so ê quadratic
  128.     formula must be used
  129.         èè -6 ± √[(6)² - 4(1)(13)]
  130.         m = ─────────────────────────
  131.             èèè2(1)
  132.  
  133.         è= [ -6 ± √(-16) ] / 2
  134.  
  135.         è= [ -6 ± 4i ] / 2
  136.  
  137.         è=è-3 ± 2i
  138.  
  139.     The general solution is
  140.         C¬eúÄ╣cos[2x] + C½eúÄ╣sï[2x]
  141.  
  142. Ç    B
  143.  
  144.  5    4y»» - 4y» + 5y = 0
  145.  
  146.     A)    C¬e╣cos[x/2] + C½e╣sï[x/2]        
  147.     B)    C¬e╣»ìcos[x] + C½e╣»ìsï[x]
  148.     C)    C¬eú╣cos[x/2] + C½eú╣sï[x/2]
  149.     D)    C¬eú╣»ìcos[x] + C½eú╣»ìsï[x]
  150.  
  151. ü    Forè
  152.         4y»» - 4y» + 5y = 0,
  153.     ê characteristic equation is
  154.          4mì - 4m + 5 = 0
  155.     This does NOT facër with real coefficients so ê quadratic
  156.     formula must be used
  157.         èè 4 ± √[(-4)² - 4(4)(5)]
  158.         m = ────────────────────────
  159.             èèè2(4)
  160.  
  161.         è= [ 4 ± √(-64) ] / 8
  162.  
  163.         è= [ 4 ± 8i ] / 8
  164.  
  165.         è=è1/2 ± i
  166.  
  167.     The general solution is
  168.         C¬e╣»ìcos[x] + C½e╣»ìsï[x]
  169.  
  170. Ç    B
  171.  
  172. äè Solve ê followïg ïitial value problem.
  173.  
  174. â    èFor ê ïitial value problem
  175.         y»» + 4y = 0 ;èy(0) = 3 ;èy»(0) = -2
  176.     The general solution is
  177.         y = C¬cos[2x] + C½sï[2x]
  178.     Solvïg yieldsèèè C¬ = 3 ; C½ = -2
  179.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  180.         y = 3cos[2x] - 2sï[2x]
  181.  
  182. éS    èTo solve an Initial Value Problem 
  183.         ay»» + by» + cy = 0è 
  184.         y(x╠) = y╠ ; y»(x╠) = y»╠    
  185.     has two stages.
  186.     1)    Fïd a general solution ç ê differential equation.
  187.         As this is a second order, differential equation,
  188.         ê general solution will have TWO ARBITRARY CONSTANTS
  189.     2)    Substitute ê INITIAL VALUE ç ê ïdependent
  190.         variable ïë ê general solution å its deriviative
  191.         å set êm equal ë ê TWO INITIAL CONDITIONS.èThis
  192.         produces two lïear equations ï two unknowns (ê
  193.         arbitrary constants).èSolvïg this system yields ê
  194.         value ç ê constants å ê solution ç ê ïitial
  195.         value problem.
  196.  
  197.  6    y»» + 9y = 0èè
  198.         y(0) = 2è;èy»(0) = 3
  199.  
  200.  
  201.     A)    2cos[3x] + sï[3x]    B)    2cos[3x] - sï[3x]
  202.  
  203.     B)    cos[3x] + 2sï[3x]    D)    -cos[3x] + 2sï[3x]
  204.  
  205. üèè For ê ïitial value problem
  206.         y»» + 9y = 0 ;èy(0) = 2 ;èy»(0) = 3
  207.     The characteristic equation is
  208.         mì + 9 = 0
  209.     The solutions are
  210.         m = ± 3i
  211.     The general solution is
  212.         y = C¬cos[3x] + C½sï[3x]
  213.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  214.         y(0)è=èC¬èèè= 2
  215.         y»(0) =èèè3C½ = 3
  216.     Solvïg this system yields
  217.         C¬ = 2 ; C½ = 1
  218.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  219.         y = 2cos[3x] + sï[3x]
  220.  
  221. Ç    A
  222.  
  223.  7    y»» + 4y = 0è 
  224.         y(╥/4) = 3è;èy»(╥/4) = 4
  225.  
  226.  
  227.     A)è3cos[2x] - 2sï[2x]    èB)     2cos[2x] - 3sï[2x]
  228.  
  229.     C)è-3cos[2x] + 2sï[2x]èD)è    -2cos[2x] + 3sï[2x]
  230.  
  231. üèè For ê ïitial value problem
  232.         y»» + 4y = 0 ;èy(╥/4) = 3 ;èy»(╥/4) = 4
  233.     The characteristic equation is
  234.         mì + 4 = 0
  235.     The solutions are
  236.         m = ± 2i
  237.     The general solution is
  238.         y = C¬cos[2x] + C½sï[2x]
  239.     Substitutïg x = ╥/4 ïë ê solution å its derivative 
  240.     yields
  241.         y(╥/4)è=èèè C½è = 3
  242.         y»(╥/4) = -2C¬èèè = 4
  243.     Solvïg this system yields
  244.         C¬ = -2 ; C½ = 3
  245.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  246.         y = -2cos[2x] + 3sï[2x]
  247.  
  248. Ç    D
  249.  
  250.  8    y»» - 4y» + 5y = 0èè
  251.         y(0) = 5è;èy»(0) = -3
  252.  
  253.     A)è5eì╣cos[x] - 13eì╣sï[x]    
  254.     B)è5e╣cos[x] - 13e╣sï[x]
  255.     C)è-5eì╣cos[x] + 13eì╣sï[x]    
  256.     D)è-5e╣cos[x] + 13e╣sï[x]
  257.  
  258. üèè For ê ïitial value problem
  259.         y»» - 4y» + 5y = 0 ;èy(0) = 5 ;èy»(0) = -3
  260.     The characteristic equation is
  261.         mì - 4m + 5 = 0
  262.     The solutions must be found usïg ê quadratic formula
  263.         èè 4 ± √[(-4)ì - 4(1)(5)]
  264.         m = ────────────────────────
  265.             èèè2(1)
  266.  
  267.         è=è[ 4 ± √(-4) ] / 2
  268.  
  269.         è=è[ 4 ± 2i ] / 2
  270.  
  271.         è=è2 ± i
  272.     The general solution is
  273.         y = C¬eì╣cos[x] + C½eì╣sï[x]
  274.     å its derivative is
  275.         y» = 2C¬eì╣cos[x] -C¬eì╣sï[x] 
  276.             + 2C½eì╣sï[x]+ C½eì╣cos[x]
  277.     Substitutïg x = 0 ïë ê solution å its derivative yields
  278.         y(0)è=èC¬èèè=è5
  279.         y»(0) = 2C¬ + C½ = -3
  280.     Solvïg this system yields
  281.         C¬ = 5 ; C½ = -13
  282.     Thus ê solution ë ê ïitial value problem is
  283.         y = 5eì╣cos[x] - 13eì╣sï[x]
  284.  
  285. Ç    A
  286.  
  287.  
  288.  
  289.  
  290.  
  291.  
  292.